 |
 |
Поиск
Календарь
| « Сентябрь 2024 » | ||||||
| Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
| 1 | ||||||
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
| 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
| 30 | ||||||
Статистика
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 |
Понедельник, 16.09.2024, 20:51 |
| Приветствую Вас Гость | RSS | |
| Алгебра логики | Главная | Регистрация | Вход |
Лекция 4. Логические законы. Как и в любой науке, в логике главное — законы. Логических законов много, и в этом ее отличие от других наук. Однородные законы объединяются в логические системы, которые тоже обычно именуются логиками. Правильное, или, как обычно говорят, логичное, мышление — это мышление по законам логики, по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими. Законы логики составляют тот невидимый каркас, на котором держится последовательное рассуждение и без которого оно превращается в хаотическую, бессвязную речь.
Самый простой из всех логических законов — это, пожалуй, закон тождества. Он говорит: если утверждение истинно, то оно истинно, «если А, то А». A=A. Например, если Земля вращается, то она вращается и т.п.
Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не-А, то А; если А, то неверно, что не-А. Например: «Если неверно, что Аристотель не знал закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон», и наоборот. Закон двойного отрицания был известен ещё в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само. В символической форме закон записывается так:  если неверно, что не-А, то верно А. Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечёт своё двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты». Символически:  если А, то неверно что не—А. Объединение этих законов даёт так называемый полный закон двойного отрицания:  неверно, что не-А, если и только если верно А.
Из всего множества логических законов, самым популярным является закон противоречия. Он был открыт одним из первых и сразу же объявлен наиболее важным принципом не только человеческого мышления, но и самого бытия. Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т. е. о таких высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. Например: «Луна — спутник Земли» и «Луна не является спутником Земли», «Трава — зеленая» и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. Другими словами, в одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом — это же самое отрицается. Идея, выражаемая законом противоречия: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными.  Например, неверно, что трава зеленая и не зеленая, что Луна спутник Земли и не спутник Земли и т.д. Закон противоречия говорит о противоречащих высказываниях — отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости — отсюда другое распространенное имя — закон непротиворечия.
Закон исключительного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Идея, выражаемая им: из двух противоречащих высказываний одно является истинным.  Конкретными приложениями этого закона являются, к примеру, высказывания: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее». Истинность отрицания равнозначна ложности утверждения. В силу этого закон исключенного третьего можно передать и так: каждое высказывание является истинным или ложным.
Закон идемпотентности - это закон математической логики, по которому из логики исключаются коэффициенты и показатели степеней. В логике присутствуют аналоги известных алгебраических законов: а * а = a2; а + а = 2а, но вычисляются они по своим правилам. Так логическое умножение двух высказываний А есть A:  Читается так «А и А равносильно А». Логическое сложение двух высказываний А, равносильно А  Читается: «А или А равносильно А», «А или А есть тоже самое, что А».
Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные «и» и «или». Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др., по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения — от порядка слагаемых и т.д. Символически законы коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:  Примеры: «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь», «Волга — самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»».
Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью «и», «или» и др. Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:  Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так:  В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.
Закон дистрибутивности определяет правила раскрытия скобок в процедурах произведения множителя на сумму слагаемых. В математической логике закон определяет правила корректного проведения операций конъюнкции над членами дизъюнкции и выражается следующей формулой:  Что означает А и (В или С) есть тоже самое, что А и В или А и С. В математической логике имеет место ещё второй закон дистрибутивности, выражающийся формулой:  Что означает А или (В и С) есть тоже самое, что А или В и А или С.
Закон поглощения – это закон математической логики, согласно которому верны следующие равенства: 
Логическая операция, в процессе которой два члена формулы, имеющие одинаковую часть, заменяются одним членом, как бы склеиваются, носит название закон склеивания. Пусть имеется сложное высказывание  Анализируя это выражение, видим, что у двух членов конъюнкции имеется одинаковая часть высказывания - А. Тогда это высказывание можно упростить так: 
Именем английского логика XIX в. А. Де Моргана называются логические законы, связывающие с помощью отрицания высказывания, образованные с помощью союзов «и» и «или». Один из этих законов можно выразить так: отрицание высказывания «А и В» эквивалентно высказыванию «не-А или не-В». Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, если и только если завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».  Другой закон: неверно, что А и В, если и только если неверно А и неверно В. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ни арифметики, ни геометрии». 
«Закон контрапозиции» — это общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие условного высказывания. Один из этих законов, называемый иногда законом простой контрапозиции, звучит так: если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого. Например: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится на шесть».  Еще два закона конрапозиции: если дело обстоит так, что если А, то не-В, то если В, то не-А; например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»  если верно, что если не-А, то В, то если не-В, то А; например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно» 
Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания. Он читается так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Например, если условием того, чтобы машина не работала, является её работа, то машина работает. Закон назван именем Клавия — учёного-иезуита, жившего в XVI в., одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своём комментарии к «Геометрии» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из её допущения, что она является ложной. Символически закон Клавия представляется формулой:  Из закона Клавия вытекает следующий совет, касающийся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не-А. Например, нужно доказать утверждение «У трапеции четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что у трапеции четыре стороны». Если из этого отрицания удаётся вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно. Основные положения:  Контрольные вопросы и задания: 1. В чем суть закона ассоциативности? 2. Приведите доказательства законов де Моргана? 3.  Литература:
|