ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ.

   Если высказывание A истинно, будем писать A =1, а если - ложно, то A =0.

   Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных — или наборов входных переменных — обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности (комбинационной таблицей). Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле:Q=2n, где n — количество входных переменных.

   Простейшим примером логической функции является функция одной переменной:

Аргумент	Функция
X	F0(X)	F1(X)	F2(X)	F3(X)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

• F₀(X) - константа 0;
• F₁(X) - переменная X;
• F₂(X) - инверсия X;
• F₃(X) - константа 1.

   Рассмотрим таблицу значений функции от n переменных. Число строк в такой таблице будет равно числу всевозможных n-ок, т.е. равно 2ⁿ. А число столбцов – числу переменных плюс единица, т.е. (n+1). При построении таблицы учтем, что каждую n можно рассматривать как двоичное число, и выпишем их в порядке возрастания от 0 до 2ⁿ–1.

x1	x2	x3	...	xn-1	xn	f(x1, x2, x3, ..., xn-1, xn)
0	0	0	...	0	0	f(0, 0, 0, ..., 0, 0)
0	0	0	...	0	1	f(0, 0, 0, ..., 0, 1)
0	0	0	...	1	0	f(0, 0, 0, ..., 1, 0)
...	...	...	...	...	...	.....................
1	1	1	...	1	1	f(1, 1, 1, ..., 1, 1)

   В правом столбце таблицы записывают значения функции на соответствующих n-ках.

   Если у двух логических функций совпадают таблицы истинности, то есть на всех наборах значений входных переменных они принимают одинаковое значение, то их называют равносильными или эквивалентными. Это обозначается знаком «=».

   Тождественно-истинные функции – это логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных.

   Тождественно ложные функции – это логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных.

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ.

Название операции	Форма записи	Таблица истинности	Круги Эйлера
Операция «НЕ»; Логическое отрицание; Инверсия.		A ¬A 0 1 0 0
Операция «И»; Логическое умножение; Логическое произведение; Конъюнкция.		A B A*B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Операция «ИЛИ»; Логическое сложение; Логическая сумма; Дизъюнкция.		A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Операция исключающее «ИЛИ»; Сложение по модулю 2; Разделительная дизъюнкция; Строгая дизъюнкция.		A B AB 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Операция «Если - то»; Логическое следование; Импликация.		A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
Равносильность; Эквиваленция.		A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Стрелка Пирса; Символ Лукашевича.		A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
Штрих Шеффера.		A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Операция «НЕ».

   Если высказывание А – истинно, то высказывание «НЕ А» - ложно и наоборот.

   Логическое отрицание (inversion – лат. переворачиваю) – присоединение частицы «не» к сказуемому простого высказывания A.

Пример:

   A: «Моя собака любит кашу».

¬A: «Моя собака НЕ любит кашу».

   

   В русском языке для обозначения «Логического отрицания» также используют присоединение слов «неверно, что…».

Пример:

   A: «Вася умеет кататься на коньках».

¬A: «НЕВЕРНО, ЧТО Вася умеет кататься на коньках».

   Свойства инверсии:

1. ¬¬(A)=A.

Операция «И».

   Конъюнкция истина тогда и только тогда, когда высказывания «A» и «B» истины.

   Логическое умножение (conjunction – лат. связываю) – соединение двух простых высказываний A и B в одно составное с помощью союза «и».

Пример: 

      A: «Киев является столицей Украины».

      B: «В Киеве проживают  тыс. человек».

A∩B: «Киев – столица Украины И в нем проживают  тыс. человек».

   В русском языке для обозначения «Логической конъюнкции» кроме союза «и» можно использовать союзы «но» и «а».

Пример:

      A: «Киев - столица Украины».

      B: «Москва – столица России».

A∩B: «Киев – столица Украины, А Москва – столица России» или «Киев – столица Украины, НО Москва – столица России».

   Свойства конъюнкции:

Операция «ИЛИ».

   Дизъюнкция ложна тога и только тогда, когда оба высказывания «A» и «B», ложны.

   Логическое сложение (disjunction – лат. различаю) – соединение двух простых высказываний A и B с помощью союза «или», в неисключающем смысле, то есть, одно высказывание не исключает другое.

Пример:

      A: «Число 10 кратно 5».

      B: «28 меньше 30».

A∪B: «Число 10 кратно 5 ИЛИ 28 меньше 30».

Свойства дизъюнкции:

Операция «Исключающее ИЛИ».

   Строгая дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда высказывания «A» и «B» не равны меду собой.

   Строгая дизъюнкция соответствует оборотам речи «или…, или…», «либо…, либо…».

Пример:

      A: «На улице зима».

      B: «На улице весна»

A⊕B: «ИЛИ на улице зима, ИЛИ на улице весна» или «ЛИБО на улице зима, ЛИБО на улице весна».

Свойства строгой дизъюнкции:

Операция «Если – то».

   Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка «A» истина, а заключение «B» –ложно.

   Импликация (implication – лат. тесно связываю) - соединение двух простых высказываний A и B с помощью конструкции «Если…, то…».

Пример:

       A: «Завтра будет -200».

       B: «Я пойду в школу».

A→B: «ЕСЛИ завтра будет -200, ТО я пойду в школу».

   В русском языке для обозначения импликации кроме конструкции «если..., то..» можно использовать конструкции «Из… следует…», «… имплицирует …», «… достаточно для …» и «… необходимо для…».

Пример:

       A: «Мне дадут зарплату».

       B: «Я куплю мопед».

A→B: «ИЗ того, что мне дадут зарплату, СЛЕДУЕТ, что я куплю мопед», «Мне дадут зарплату ИМПЛИЦИРУЕТ тому, что я куплю мопед», «Мне дадут зарплату и этого ДОСТАТОЧНО ДЛЯ покупки мопеда» или «Получение зарплаты НЕОБХОДИМО ДЛЯ покупки мопеда».

Свойства импликации:

Равносильность.

   Эквиваленция истина тогда и только тогда, когда выражения «A» и «B» равны.

   Эквивалентность (aequivalens – фр. равноценное) – соответствует оборотам речи «тогда и только тогда» и «в том и только в том случае».

Пример: 

        A: «Пете поставят хорошую оценку».

        B: «Петя выучит уроки».

A↔B: «Пете поставят хорошую оценку тогда и только тогда, когда Петя выучит уроки».

   В русском языке операции эквивалентности также соответствует конструкция «… необходимо и достаточно …».

Пример:

        A: «Четырехугольник – это прямоугольник».

        B: «У четырехугольника два угла по 900».

A↔B: «Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, чтобы два его угла были прямыми».

Свойства эквивалентности:

Стрелка Пирса.

   Стрелка Пирса принимает истинное значение тогда и только тогда, когда оба выражения «A» и «B» ложны.

   Стрелка Пирса – логическая операция с двумя переменными, соответствует обороту речи «ни…, ни…».

Пример:

A↓B: «НИ рыба, НИ мясо».

Свойства символа Лукашевича:

Штрих Шеффера.

   Штрих Шеффера принимает ложное значение тогда и только тогда, когда оба выражения «A» и «B» истины.

   Штрих Шеффера – логическая операция с двумя переменными, соответствующая обороту речи «не… или не…».

Пример:

A∣A= «На улице НЕ теплая погода ИЛИ мы НЕ идем купаться».

Свойства штриха Шеффера:

   Основные положения:

   Таблица истинности (комбинационная таблица) - это значения логической функции для разных  наборов входных переменных.

   Равносильные функции - это функции у которых совпадают таблицы истинности. 

   Тождественно-истинные функции – это логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных.

   Тождественно ложные функции – это логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных.

   Основные логические операции:

• Инверсия;
• Конъюнкция;
• Дизъюнкция;
• Строгая дизъюнкция;
• Импликация;
• Эквиваленция;
• Стрелка Пирса;
• Штрих Шеффера.

    Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое таблица истинности и для чего она нужна?

2. Какими символами обозначаются основные логические операции?

3. Докажите свойства строгой дизъюнкции?

4. .

5. 

6. 

   

Литература:

1. Ивлев Ю.В. Логика
2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики.
3. Гончаров С.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки.
4. Непейвода Н.Н. Прикладная логика.

  <-К списку лекций       Пройти тест по теме ->